Приведение двойного интеграла к повторному в случае прямоугольной области. С этим вопросом в геометрической трактовке и при некоторых частных предположениях мы уже имели дело в п° 587.
Рассмотрим теперь его средствами анализа и притом в самой общей форме; начнем мы с простого случая, когда область интегрирования представляет собой прямоугольник (P) = [а, b; с, d].
Теорема. Если для функции f (х, у), определенной в прямоугольнике (P) = [а, b; с, d], существует двойной интеграл
---------------формула--------
и — при каждом постоянном значении х из [а, b] — простой интеграл
---------------формула--------
то существует также повторный интеграл
---------------формула--------
и выполняется равенство
---------------формула--------
Доказательство. Разобьем промежутки [а, b] и [с, d], определяющие прямоугольник (P), на части, вставляя точки деления
---------------формула--------
Тогда прямоугольник (P) разложится на частичные прямоугольники (рис. 38)
---------------формула--------
Обозначим через mik и
Mik соответственно, точные
нижнюю и верхнюю границы
функции f(x,y) в прямоугольнике (Pik), так что для всех
точек (х, у) этогопрямоугольника
---------------формула--------
Фиксируя x в промежутке [xi, xi+1] по произволу: X = пси по i, и интегрируя по у от уk до yk+1, будем иметь [304, 8°]
---------------формула--------
где уk=у<k+i — yfe; интеграл по ^ существует, так как предположено существование интеграла (2) по всему промежутку [с, d\ Суммируя подобные неравенства по k от 0 до т — 1, получим
Если умножить все части этих неравенств на AjC1 = JTj+1-^JfJ и просуммировать по значку i от 0 до п—1, то найдем
---------------формула--------
Посредине мы получили интегральную сумму для функции 1(х). Что же касается до крайних членов, то они представляют собою не что иное, как суммы s и S Дарбу для двойного интеграла (1). Действительно, так как A#,Ayfc есть площадь Pik прямоугольника (Pj1 ft), то, например, имеем
---------------формула--------
Таким образом, окончательно
---------------формула--------
Если теперь все Ajfj и Ayfc одновременно устремить к нулю, то ввиду существования двойного интеграла (1), обе суммы s и S будут стремиться к нему, как к пределу. В таком случае и
---------------формула--------
т. е. двойной интеграл (1) представляет собой в то же время и интеграл от функции 1(х):
---------------формула--------
что и требовалось доказать.
Меняя роли переменных х и у, наряду с (4) можно доказать и формулу
---------------формула--------
в предположении, что при у = const, существует интеграл
---------------формула--------
Замечание. Если вместе с двойным интегралом (1) существуют оба простых интеграла:
---------------формула--------
то имеют место одновременно обе формулы (4), (4*), откуда
---------------формула--------
Этот результат мы установили -выше [528], не пользуясь предположением о существовании двойного интеграла.
Применение формулы (4) или (4*) обусловлено существованием двойного интеграла и одного из простых. Если функция f(x, у) непрерывна (случай, который обычно встречается на практике), то существование всех упомянутых интегралов обеспечено; по отношению к двойному, например, это следует из 590, I. В этом случае любой из упомянутых формул можно пользоваться для фактического вычисления двойного интеграла, так как вычисление простых интегралов представляет гораздо более простую задачу.
При доказательстве формулы (4) всего естественнее было разложить прямоугольник (P) прямыми, параллельными осям, на прямоугольные элементы с площадями Длг,Дул. Желая в самом символе двойного интеграла указать на происхождение его от деления
области на части прямыми, параллельными осям, вместо f(x,y)dP часто пишут
---------------формула--------
Больше того, имея в виду сведение двойного интеграла, распространенного на прямоугольник (P) = [а, b; с, d], к повторному, и самый двойной интеграл часто обозначают символом, сходным с повторным:
---------------формула--------
При этом обозначении друг другу соответствуют «внешний интеграл» и «внешний дифференциал», так что стоит лишь поставить скобки, чтобы получить тот или другой из повторных интегралов:
---------------формула--------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |