Ряды Фурье (продолжение)

         Применение методов обобщенного суммирования

                   к рядам Фурье

Основная лемма. Рассмотрим интеграл общего вида (а?0)

содержащий параметр ?. Областью изменения параметра пусть будет некоторое множество ? = {?}, имеющее точку сгущения ?, конечную или нет. Относительно функции Ф(t, ?) предположим, что она определена для значений t в [0, а] и значений ? из ?, и при постоянном ? интегрируема по t в собственном смысле. Кроме того, наложим на функцию Ф(t, ?) следующие три требования:

1°. Ф(t, ?)?0.

2°. Каково бы ни было ? из ?,

                                              _[1]

и, наконец,

3°. При любом ?, 0<?<а, величина

при ?>?) стремится к нулю.

Функцию ф, удовлетворяющую этим условиям, для краткости будем называть положительным ядром.

Лемма. Если Ф (t, ?) есть положительное ядро, a g(f)— произвольная, абсолютно интегрируемая функция, для которой существует предел g(+0), то

Доказательство. Ввиду 2°,

вычитая это равенство почленно из (1), получим!

Задавшись произвольным числом ?> 0, возьмем теперь ? (0 <?<а) так, чтобы

при  0<t ?? было

и разобьем предшествующий интеграл на сумму двух интегралов:

Для первого из них, принимая во внимание 1° и 2°, сразу получаем оценку;

и притом независимо от ?. С другой стороны,

В силу 3°, J₂ — 0, так что для значений ?, достаточно близких к ?, будет | J₂|<   ,а вместе с этим и

что и требовалось доказать.

   К сказанному сделаем еще такое дополнение. Предположим, что функция g, кроме переменной t, зависит еще от одной переменной х

 (0   х  а):

                                                                    g=g(t, х),

но при постоянном  х удовлетворяет прежним условиям. Тогда, если

1) g(t, х) равномерно ограничена при всех t и x

и 2) стремление g(t, х) к g(+0, х) осуществляется равно­мерно относительно х, то и интеграл

при   ?) стремится к пределу g(+0, х) равномерно от­носительно х.

    Действительно, в силу 2) число ?, о котором была речь в пред­шествующем рассуждении, можно выбрать независимо от х.

Далее, так как, в силу 1),

то неравенство (2) можно заменить таким:

где справа уже нет никакой зависимости х. Отсюда ясно, что для

значений ?, достаточно близких к ?, неравенство | J₂|<  ,  а с ним

и неравенство

будет выполняться сразу для всех значений х, что тре­бовалось доказать.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------