Почленное дифференцирование рядов Фурье
Если ряд Фурье (3) функции f(x) продифференцировать
почленно, то полученный ряд
вообще говоря, будет расходящимся, даже если в
рассматриваемой точке х для функции f(x) существует конечная
производная f (х). Примером может служить только что упомянутый ряд
(15): почленное дифференцирование приводит к повсюду расходящемуся ряду
Однако
имеет место следующее интересное предложение, принадлежащее Ф а т у (P. Fatou): если в точке
х существует конечная производная f (х), то ряд (16) суммируем по методу
Пуассона — Абеля и именно к сумме f (х).
Для доказательства
продифференцируем по х ряд Пуассона (4):
почленное дифференцирование здесь допустимо в силу равномерной
относительно х сходимости полученного ряда. Тот же результат получится,
если продифференцировать по х интеграл Пуассона (5):
причем в этом случае можно дифференцировать под знаком интеграла по
теореме 3. Последний интеграл преобразуем так:
Положим
если переписать это выражение в виде
то станет ясно, что
Покажем, далее, что функция
является положительным ядром в смысле n° 740. Прежде всего, очевидно,
Положим в (18), в частности, f(x) = sin x. Тогда
Подставляя все это, по сокращении на г cos х, получим, что
Наконец,
так что заведомо m(?, r)>0 при г>1.
Применяя теперь лемму п° 740,
видим, что интеграл (18), который служит суммой ряда (17), стремится к f (х) при r>1. А это и означает, что ряд (16) суммируется по
методу Пуассона — Абеля к f (х), что и требовалось доказать.
Замечания. Доказанная
теорема может быть обобщена на случай повторного дифференцирования: если в
рассматриваемой, точке существует конечная
производная f(p)(х) (р>1),
то ряд, полученный из (3) р-кратным
дифференцированием, суммируем к f(p)(х)
по методу Пуассона — Абеля.
Для суммирования по Ч е з а р о уже не имеет
места утверждение, аналогичное теореме Фату. Если, впрочем, усилить требования
к производной и предположить непрерывность ее в рассматриваемой точке, то
суммирование по Пуассону — Абелю может быть заменено суммированием по Чезаро.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |