Задача о вычислении скорости движущейся
точки. Начнем с частного примера, именно,
рассмотрим свободное падение (в пустоте - чтобы не учитывать сопротивления
воздуха) тяжелой материальной точки.
Если время t (сек.) отсчитывается от
начала падения, то пройденный за это время путь s (м), по известной формуле, выразится так:
где g =
9,81 j^jj • Исходя из этого, требуется
определить скорость v движения точки
в данный момент t, когда
точка находится в положении М (рис. 36).
Придадим
переменной t некоторое
приращение At и
рассмотрим момент t + At, когда точка будет в положении М ( Рис.
36).
Приращение ММг пути за
промежуток времени At обозначим через As. Подставляя в (1) t + At вместо t, получим для нового значения пути выражение
s i As = ~(t'r At)1,
откуда
As^(lt-At + At2).
Разделив As на At, мы
получим среднюю скорость падения точки на участке ММг:
------формула-----
Как видим, эта скорость меняется вместе с изменением At, тем
лучше характеризуя состояние падающей точки в момент t, чем меньше промежуток At, протекший после этого момента.
Скоростью v точки в момент
времени t называют предел, к которому стремится средняя скорость vcp
за промежуток At, когда At стремится к 0.
В нашем случае, очевидно,
Аналогично вычисляется скорость «ив общем случае прямолинейного движения точки. Положение точки
определяется ее расстоянием s, отсчитываемым
от некоторой начальной точки О; это расстояние и называется пройденным путем. Время t отсчитывается от некоторого
начального момента, причем не обязательно, чтобы в этот момент точка находилась
в О. Движение считается вполне заданным, когда известно уравнение движения: s=f(t), из которого положение точки определяется для любого момента
времени; в рассмотренном примере такую роль играло уравнение (1).
Для определения скорости v в данный момент t пришлось бы, как и выше, придать t приращение At; этому отвечает увеличение пути s на As. Отношение
------формула-----
выразит среднюю скоростьза промежуток At. Истинная
же скорость v в момент t получится отсюда предельным
переходом:
------формула-----
Мы рассмотрим ниже другую важную задачу,
приводящую к подобной же предельной операции.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
