Интеграл по ориентированному промежутку. До сих пор, говоря об «определенном интеграле в промежутке от а до b», мы всегда подразумевали, что а<b. Устраним теперь это стеснительное ограничение.
С этой целью мы, прежде всего, устраним понятие направленного или ориентированного промежутка. Под ориентированным промежутком [а, b] (где может быть и а<b и а>b) мы будем разуметь множество значений х, удовлетворяющих неравенствам, соответственно,
a?x?b или a?x?b
и расположенных или упорядоченных от а к b, т. е. в порядке возрастания, если а<b, или убывания, если а>b. Таким образом, мы различаем промежутки [а, b] и [b, а]: совпадая по своему составу (как числовые множества), они разнятся по направлению.
То определение интеграла, которое было дано в 295, относится к ориентированному промежутку [а, b], но лишь для случая, когда а<b.
Обратимся к определению интеграла в ориентированном промежутке [а, b], в предположении, что а>b. Можно повторить для этого случая обычный процесс дробления промежутка путем вставления точек деления, идущих в направлении от в к J:
а = хй>-х^х^ ... =*л',->*/+1^ ... >хп-Ъ.
Выбрав в каждом частичном промежутке [х,-, xi+1] по точке так что лг,-э=?г-з= xi+1, составим интегральную сумму
где - на этот раз - все Axt = xi+1 - х( < 0. Наконец, предел этой суммы при А = тах |Дхг| -0 и приведет нас к понятию интеграла
ь
f(x)dx = \\m а. я-о
а
Если для промежутков [а, b] и [b, а] (где а^b) взять те же точки деления и те же точки |, то отвечающие им интегральные суммы будут разниться лишь знаками. Отсюда, переходя к пределам, получаем такое предложение:
1°. Если f(x) интегрируема в промежутке [b, а], то она интегрируема и в промежутке [а, Ь], причем
b а
\f{x)dx=-\f{x)dx.
и b
Впрочем, можно было бы именно это равенство принять за о п р е д е л е н и е интеграла J при а =- Ъ в предположении, что интеграл существует.
Заметим еще, что по определению же полагают
а
jf(x)dx = 0.
а
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |